Funciones trigonométricas

Funciones trigonométricas

Ángulos

Forma geométrica: Se le llama «ángulo» a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.

Posición normal canónica de un angulo

Llamado también ángulo en posición canónica o estándar; es aquel ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema cartesiano, su lado inicial coincide con el semieje positivo de abscisas y su lado se ubicará en cualquier región del plano, siendo el que indique a que cuadrante pertenece dicho ángulo 

Medición de ángulos en el sistema sexagesimal o en  grados

El Sistema sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, es decir, es un sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos.

Tiempo
1 h  60 min
1 min  60 s
Grados sexagesimales
1º  60'
1'  60''

Te invito a que sigas este enlace para saber màs:

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/sismet/sistema-sexagesimal.html

Angulos coterminales

Este vídeo Te explicarà que es un ángulo coterminal

Medición de ángulos en el sistema ciclìco o en radianes

Un radiàn (rad) es la medida de un ángulo central de una circunferencia cuya longitud del arco subtendido es igual a su radio.

Cuando la medida del arco s y la medida del radio r de la circunferencia son iguales, entonces, la medida del ángulo 𝞱 es un radiàn.

Relación entre grados sexagesimales y radianes

Mira el vìdeo, para conocer màs:

Otro ejemplo

Teorema de Pitàgoras

Teorema: dado un triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa h (el lado opuesto al ángulo recto). Entonces,

VIDEO

Problemas resueltos

Problema 1

Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados 3cm y 4cm.

Soluciòn

Los lados son
$$a=3cm,b=4cm$$Aplicando el teorema de Pitágoras,

Por tanto, la hipotenusa mide 5cm.

Problema 2

Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 2cm y uno de sus lados mide 1cm, ¿cuánto mide el otro lado?

Soluciòn

Llamamos a los lados a y b y a la hipotenusa h. Sabemos que

$$h=2,a=1$$

Por Pitágoras, sabemos que

$$h^2=a^2+b^2$$

Sustituyendo los valores conocidos tenemos que

Ahora despejamos b en la ecuación

Hemos escrito los signos positivo y negativo porque es lo que, en teoría, debemos hacer. Pero como b representa la longitud de un cateto, no puede ser un número negativo.

Por tanto, el cateto mide

Podemos dejar la raíz cuadrada o aproximarla.

CIRCUNFERENCIA UNITARIA

Este vídeo Te explica si un punto pertenece a la circunferencia o como hallar el valor de una coordenada, conociendo la otra, en una circunferencia de radio 1

                                                                                                                                                                                           

Definición de las funciones trigonométricas 

SIGNO DE LA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS SEGÚN EL CUADRANTE

NÚMEROS RACIONALES

NÚMEROS RACIONALES

HISTORIA 

Los números racionales están presentes habitualmente en nuestra vida cotidiana pero surgieron en la antigüedad, aparecieron casi al mismo tiempo que contar, y dieron origen a las fracciones.

Se cree que el origen está vinculado al pan. En el antiguo Egipto necesitaban repartir el pan entre la gente, como había más personas que panes recurrieron a las fracciones, pero estas fracciones eran de la forma 1 sobre n (1/n), siendo n un número natural. Tuvieron seria dificultad para darle significado a las fracciones con numerador distinto de 1. (Papiro escrito por un sacerdote llamado Ahmes en 1900 a.C.)

La forma en que expresamos las fracciones se la debemos a los hindúes. Mientras que la raya horizontal fue un aporte de los árabes por Leonardo de Pisa, también llamado Fibonacci que en el siglo XIII introdujo en Europa la escritura arábiga para las fracciones.

¿Por qué los llamamos números racionales?

La palabra racional viene de ración, la parte de un todo. Ese todo puede ser continuo (como un metro de tela) o discreto (como un conjunto de lápices) a ese todo se lo denomina Unidad.

Cuando hablamos de números racionales nos referimos a números que expresan fracciones de una totalidad.

Este conjunto incluye a los números enteros y a la vez es subconjunto de los números reales.

 Recuperado de: https://sites.google.com/site/numerosracionalesq/home/un-poco-de-historia

CONCEPTO DE NÚMERO RACIONAL

Definición de un n° racional: todo número que pueda representarse como el cociente de dos números enteros (fracción), siempre que el denominador no sea 0.

Representación en la Recta Numérica

Trazas una recta horizontal y sobre esta marcas un punto (cero), eliges la distancia que quieras para ubicar los números, a la derecha del cero se ubican los racionales positivos (+) y hacia la izquierda del cero, los racionales negativos (-).

El siguiente Vídeo te explica como ubicar racionales fraccionarios positivos (+) en la recta, de igual manera se ubican los racionales fraccionarios negativos (-).

VÍDEO 

Representación Decimal

Representación Decimal

Las fracciones pueden expresarse como números decimales, realizando la división entre el numerador y el denominador, lo cual puede resultar en una de las siguientes situaciones :

·         Expresiones decimales exactas: Corresponden a fracciones cuyo denominador es una potencia de diez (fracción decimal). Poe ejemplo: 2/5 = 0,4.

·         Expresiones decimales periódicas: que pueden ser:

v Expresiones decimales periódicos puras: el periodo inicia enseguida de la coma decimal.

Ejemplo: 2/3 = 0. 66666666…..= 0,6

v  Expresiones decimales periódicos mixtas: el periodo no se inicia enseguida de la coma decimal.

Ejemplo: 1/6 = 0.16666666…. = 0,16

Vídeo

Ubicación de Parejas Ordenadas Cuyas Coordenadas son Números Racionales, en el Plano Cartesiano

El siguiente vídeo Te explica como se ubican estas parejas ordenadas.

VÍDEO

OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES

En esta unidad, trabajaremos las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división con números racionales.

ADICIÓN DE RACIONALES FRACCIONARIOS

Para sumar racionales fraccionarios, se procede de igual forma que con las fracciones, pero se debe tener en cuenta que dado que los racionales fraccionarios son el cociente entre dos números enteros, debemos saber operar con el conjunto de los enteros.

SUSTRACCIÓN DE RACIONALES FRACCIONARIOS

En la sustracción se realiza el mismo procedimiento que en la adición.

El siguiente vídeo, Te explica las operaciones de adición y sustracción de racionales

VÍDEO

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE RACIONALES

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE RACIONALES EN FORMA DE FRACCIÓN

VÍDEO MULTIPLICACIÓN

VÍDEO DIVISIÓN

POTENCIACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Las leyes de los exponentes se aplican para todos los números reales, por lo tanto, también son ciertas para los racionales. Un número racional elevado a 0 es igual a la unidad. Un número racional elevado a 1 es igual a sí mismo. Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

En la potenciación de racionales, las propiedades son muy parecidas a las de la potenciación de números naturales y de números enteros. 

El siguiente vídeo Te explica las propiedades de la potenciación en racionales.

VÍDEO

           RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

VÍDEO

MÚLTIPLOS Y DIVISORES

Múltiplos de un número natural.

Los múltiplos de un número son los que se obtienen al multiplicar dicho número por todos los números naturales salvo el 0. Puesto que hay infinitos naturales, un número tiene infinitos múltiplos.

Ejemplo: Los múltiplos del número 3 son 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21....

Divisores de un número natural.

Los divisores de un número natural son aquellos números que se pueden dividir entre él, siendo el resto cero.

El número 7 es divisor de 364; también se dice que ”el número 364 es divisible entre 7”, ya que al dividir 364 entre 7 el resto es 0.

Para saber si un número es divisor de otro solo tienes que hacer la división y comprobar si el resto es cero.

 Ejemplo:

¿Cuáles son los divisores de 15?

Son números entre los que podemos dividir el 15 siendo la división exacta. Debemos probar entre los números más pequeños que el 15. Evidentemente, el 15 lo puedes dividir entre 15, entre 5, entre 3 y entre 1, siendo la división exacta Luego los divisores del 15 son el 1, el 3, el 5 y el 15.

VÍDEO

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Los criterios de divisibilidad son pautas que nos permiten saber rápidamente si un número es divisible entre otro.  Es decir, nos permiten saber si cuando los dividamos el resto de la división será cero o no.

Los criterios de divisibilidad son muy útiles

• Nos ayudan a encontrar con facilidad los divisores de un número.
• Nos sirven especialmente cuando tenemos que descomponer números en factores primos o saber si un número es primo o compuesto.
• Nos dan pistas cuando tenemos que simplificar fracciones, entre muchas otras cosas…

¡Es muy conveniente conocer los criterios de divisibilidad!

VÍDEO 

Te invito a que visites el siguiente link, para que descubras los criterios de divisibilidad. Conque descubras los criterios de divisibilidad hasta el número 9 creo que es suficiente.

https://ya.co.ve/Vn7

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Máximo común divisor

El máximo común divisor de dos números a y b es el número más grande que divide a a y divide a b.

Para denotar el máximo común divisor de a y b escribiremos M.C.D.(a, b) ó MCD(a, b).

Ejemplo: Vamos a calcular el máximo común divisor de 12 y 18.

Puesto que el número que buscamos tiene que dividir a 12 y a 18, no puede ser mayor que 12.

En la siguiente tabla escribimos los candidatos:

Divisor de 12

Sí

Sí

Sí

Sí

No

Sí

No

No

No

No

No

Sí

Divisor de 18

Sí

Sí

Sí

No

No

Sí

No

No

Sí

No

No

No

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Puesto que el máximo común divisor debe dividir a los dos números, las únicas posibilidades son: 1, 2, 3 y 6.

Como tiene que ser el más grande posible, el mcd es 6;  mcd(12,18) = 6

Una forma fácil de hallar el mcd de dos o mas números, es la descomposición en factores primos. El siguiente Link, Te explica como descomponer un número en sus factores primos.

VÍDEO

A continuación un ejemplo de como hallar el mcd de los números dados.

Ejemplo:

VÍDEO

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Mínimo Común Múltiplo

El mínimo común múltiplo de dos números a y b es el número más pequeño que es múltiplo de a y múltiplo de b.

Para denotar el mínimo común múltiplo de a y b escribiremos mcm (a, b) ó mcm(a, b).

Para hallar el mcm, descomponemos en factores primos y el producto de dichos factores, será el mcm. 

Ejemplo:

El siguiente vídeo, explica como hallar el mcd y el mcm de dos o más números.

VÍDEO

CONCEPTO DE FRACCIÓN

Una fracción es el cociente entre dos números enteros y se representa de la forma a/b, donde b es  un entero diferente de cero.

VÍDEO

UBICACIÓN DE LAS FRACCIONES EN LA RECTA NUMÉRICA

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REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FRACCIONES

VÍDEO

FRACCIÓN DE UN NÚMERO FRACCIÓN DE UNA FRACCIÓN

Dado un número o una fracción cualquiera, podemos hallar  el su valor de su fracción, por ejemplo las 3/5 parte de 50, 1/2 de 3/4, podemos saber a cuanto equivalen estas fracciones de esos números. A continuación el vídeo Te explica el proceso.

VÍDEO

NÚMEROS MIXTOS

Los números mixtos son aquellos que están compuestos por na parte entera y otra fraccionaria, por ejemplo: 

Donde 4 es la parte entera y 2/3 la parte fraccionaria, podemos expresar un número mixto como una fracción y viceversa, las fracciones que pueden expresarse como un número mixto son las fracciones impropias, las cuales son mayores que la unidad. El siguiente vídeo, Te explica el proceso de conversión.

VÍDEO